Question

15．设数列{a_n}的前 n 项和为 S_n，已知a₁=1，S_n+1=3S_n+1，n∈N^?．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若 b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，S_n=3S_n-1+2，a_n+1=S_n+1-S_n=3a_n，则a₂=4，数列{a_n}是从第二项起以4为首项，3为公比的等比数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知，当n≥2时，b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{8n}{4×{3}^{n-1}-4×{3}^{n-2}}$=$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，利用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由S_n+1=3S_n+2，
当n≥2时，S_n=3S_n-1+2，
则a_n+1=S_n+1-S_n=（3S_n+2）-（3S_n-1+2）=3a_n，
a₂=4，
∴数列{a_n}是从第二项起以4为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{4•{3}^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{4•{3}^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n≥2时，b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{8n}{4×{3}^{n-1}-4×{3}^{n-2}}$=$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，
当n=1时，b₁=$\frac{8}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{8}{3}$，
T₁=b₁=$\frac{8}{3}$，
当n≥2时，T_n=$\frac{8}{3}$+$\frac{2}{{3}^{0}}$+$\frac{3}{{3}^{1}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-3}}$+$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{8}{9}$+$\frac{2}{{3}^{1}}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-2}}$+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{25}{9}$+$\frac{1}{{3}^{0}}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-2}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
=$\frac{25}{9}$+$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
=$\frac{77}{18}$-$\frac{2n+3}{2×{3}^{n-2}}$，
T_n=$\frac{77}{12}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n-2}}$（n≥2），
由T₁=b₁=$\frac{8}{3}$，也适合上式，
∴数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{77}{12}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n-2}}$．

点评 本题考查数列的通项公式求法，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．