Question

16．如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，只需证EH⊥BD，AC⊥BD，即可得BD⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，$\overrightarrow{HA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{HE}$分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H-xyz，求出两个面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD…（1分）
∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD…（2分）
又正方形ABCD中，AC⊥BD…（3分）
∵EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内…（4分）
∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，$\overrightarrow{HA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{HE}$分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H-xyz…（6分）

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=60°，设正方形ABCD的边长为4a，
则AC=4$\sqrt{2}\\;a$，AH=$\sqrt{2}a$，EA=2$\sqrt{2}a$，EH=$\sqrt{6}a$…（7分）
各点坐标分别为H（0，0，0），A（$\sqrt{2}a，0，0）$，B（-$\sqrt{2}a，2\sqrt{2}a，0）$
C（-3$\sqrt{2}a，0，0）$，D（-$\sqrt{2}a，-2\sqrt{2}a，0）$，E（0，0，$\sqrt{6}a）$
…（8分）
易知为平面ABCD的一个法向量，记$\overrightarrow{{n}_{1}}=\overrightarrow{HE}=（0，0，\sqrt{6}a）$，
$\overrightarrow{AC}=（-4\sqrt{2}a，0，0）$，$\overrightarrow{DE}=（\sqrt{2}a，2\sqrt{2}a，\sqrt{6}a）$，
∵EF∥AC，∴$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{AC}=（-4\sqrt{2}aλ，0，0）$…（9分）
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，则$\overrightarrow{{n}_{2}}$⊥$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$$\overrightarrow{EF}$⊥，
即$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{2}ax+2\sqrt{2}ay+\sqrt{6}az=0$$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EF}=-4\sqrt{2}aλx=0$，令z=$\sqrt{3}$，则x=0，y=-2，∴$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，\sqrt{3}，0）$，且$\overrightarrow{{n}_{2}}=\sqrt{7}，\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=-2\sqrt{6}a$，…（10分）
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$与$\overrightarrow{{n}_{2}}$的夹角θ为|cosθ|=$\frac{2}{\sqrt{7}}$
平面DEF与平面ABCD所成角α的正弦值为sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}=\frac{\sqrt{21}}{7}$…（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．