Question

6．已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y-2=0截得的弦长为$\sqrt{2}$．
（1）求圆F的方程；
（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；
（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

分析 （1）设圆F的方程为（x-1）²+y²=r²，r＞0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径r，可得圆F的方程；
（2）由题意可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，即为M到点F的距离比它到直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
（3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

解答 解：（1）设圆F的方程为（x-1）²+y²=r²，r＞0，
由圆心到直线x+y-2=0的距离为d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由弦长公式可得$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{2}}$，解得r=1，
可得圆F的方程为（x-1）²+y²=1；
（2）设M的坐标为（x，y），由动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，
可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，
即为M到点F的距离比它到直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心M的轨迹方程为y²=4x；
（3）证明：设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．

点评 本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和定义法，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．