Question

14．设a＞0，若关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{ax-y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，表示的可行域与圆（x-2）²+y²=9存在公共点，则z=x+2y的最大值的取值范围为（　　）

• A． [8，10]
• B． （6，+∞）
• C． （6，8]
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 由题意画出图形，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到使目标函数取得最大值的最优解的点的位置得答案．

解答 解：如图，作出不等式组大致表示的可行域．

圆（x-2）²+y²=9是以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，
而直线ax-y+2=0恒过定点（0，2），当直线ax-y+2=0过（2，3）时，a=$\frac{1}{2}$．
数形结合可得a$≥\frac{1}{2}$．
化目标函数z=x+2y为y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，
由图可知，当目标函数过点（2，2a+2）时，z取得最大值为4a+6，
∵a$≥\frac{1}{2}$，∴z≥8．
∴z=x+2y的最大值的取值范围为[8，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，正确画出可行域是关键，属中档题．