Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，$∠BAD={60°}，AB=2，PD=\sqrt{3}，AD=BD$，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PE=2EB，求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥PD．AC⊥BD，推出AC⊥平面PBD，然后证明平面EAC⊥平面PBD．
（2）连接OE，说明∠EOB即为二面角E-AC-B的平面角，过E作EH∥PD，交BD于点H，则EH⊥BD，在RT△EHO中，求解二面角E-AC-B的大小即可．

解答 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵AD=BD，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）如图，连接OE，又（1）可知EO⊥AC，又AC⊥BD，
∴∠EOB即为二面角E-AC-B的平面角，
过E作EH∥PD，交BD于点H，则EH⊥BD，
又$PE=2EB，AB=2，PD=\sqrt{3}，EH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，OH=\frac{1}{3}$，
在RT△EHO中，$tan∠EOH=\frac{EH}{OH}=\sqrt{3}$，∴∠EOH=60°，
即二面角E-AC-B的大小为60°．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．