Question

12．已知双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A，抛物线C：y²=8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{FP}$，则E的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
• C． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，$\frac{b}{a}$m），以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．

解答 解：双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A（a，0），
抛物线C：y²=8ax的焦点为F（2a，0），
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可设P（m，$\frac{b}{a}$m），
即有$\overrightarrow{AP}$=（m-a，$\frac{b}{a}$m），$\overrightarrow{FP}$=（m-2a，$\frac{b}{a}$m），
由$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{FP}$，可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，
即为（m-a）（m-2a）+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$m²=0，
化为（1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）m²-3ma+2a²=0，
由题意可得△=9a²-4（1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）•2a²≥0，
即有a²≥8b²=8（c²-a²），
即8c²≤9a²，
则e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
由e＞1，可得1＜e≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．