Question

20．已知函数$f（x）=Asin（wx+φ）+B（A＞0，w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的 部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和对称中心坐标；
（3）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，在将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y=g（x）在$x∈[0，\frac{7π}{6}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求ω，由图象及五点法作图可知：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解f（x）的解析式；
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，可求f（x）的单调递增区间．
令$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，可求f（x）的对称中心的坐标．
（3）由已知的图象变换过程可得：$g（x）=2sin（x+\frac{2π}{3}）$，由$0≤x≤\frac{7π}{6}$，利用正弦函数的性质可求在$x∈[0，\frac{7π}{6}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由图象可知$\left\{\begin{array}{l}A+B=1\\-A+B=⇒A=2，B=-1\end{array}\right.$，
又由于$\frac{T}{2}=\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}⇒T=π$，
所以$w=\frac{2π}{T}=2$，
由图象及五点法作图可知：$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）-1$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）-1$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
所以f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$，
令$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，k∈Z$，
所以f（x）的对称中心的坐标为$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}-1），k∈Z$．
（3）由已知的图象变换过程可得：$g（x）=2sin（x+\frac{2π}{3}）$，
因为$0≤x≤\frac{7π}{6}$，
所以$\frac{2π}{3}≤x+\frac{2π}{3}≤\frac{11π}{6}$，
所以当$x+\frac{2π}{3}=\frac{3π}{2}$，得$x=\frac{5π}{6}$时，g（x）取得最小值$g（\frac{5π}{6}）=-2$，
当$x+\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}$时，即x=0g（x）取得最小值$g（0）=\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于基础题．