Question

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）是幂函数，且图象过点$（3，\sqrt{3}）$，则f（x）在R上的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}，x≥0\\-\sqrt{-x}，x＜0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意设当x＞0时，f（x）=x^α（α是常数），把点$（3，\sqrt{3}）$代入解析式求出α的值，即可求出x＞0时的解析式，设x＜0则-x＞0，利用奇函数的性质求出x＜0、x=0时的解析式，利用分段函数表示出来．

解答 解：由题意设当x＞0时，f（x）=x^α（α是常数），
因为当x＞0时，图象过点$（3，\sqrt{3}）$，
所以f（3）=3^α=$\sqrt{3}$，解得$α=\frac{1}{2}$，
则当x＞0时，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，
设x＜0，则-x＞0，即f（x）=$\sqrt{-x}$，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x）=$-\sqrt{-x}$，且x=0时，f（0）=0，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故答案为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式，以及奇函数的性质，考查化简、变形能力．