Question

5．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2b，由双曲线的几何性质分析可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，由离心率的计算公式可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
又由其渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，
则有$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，即b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线、离心率的计算，关键是求a，c的关系，注意分析双曲线的焦点的位置．