Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2DC=4$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由AD²+BD²=AB²，可得∠ADB=90°．又平面PAD⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAD，夹角证明．
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，利用线面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．即线段PO为四棱锥P-ABCD的高，利用梯形的面积计算公式可得梯形ABCD的面积为S．即可得出V_P-ABCD．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∵AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴线段PO为四棱锥P-ABCD的高，
在四边形ABCD中，∵AB∥DC，AB=2DC，
∴四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
即梯形ABCD的高为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，…（10分）
∴梯形ABCD的面积为S=$\frac{2\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{2}×\frac{8\sqrt{5}}{5}$=24．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×24×2\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．