Question

12．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．
（I）求证：MN⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{DC}$，计算$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=0，从而MN⊥DC；
（Ⅱ）设PA=AB=2AD=2，利用向量法，设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），运用向量垂直的条件可得，平面APB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），能求出二面角P-AB-M的余弦值．

解答 解：（I证明：如图建立以A为坐标原点，
以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴空间直角坐标系A-xyz，
设PA=AB=2AD=2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（1，0，0），
P（0，0，2），M（$\frac{1}{2}$，1，1），N（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
因为$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{1}{2}$）×0+0×2+（-1）×0=0，
所以MN⊥CD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），
C（1，2，0），
∴M（$\frac{1}{2}$，1，1），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+y+z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$可取（2，0，-1），
∵平面APB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{2×1+0×0+（-1）×0}{1×\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的判定，平面的二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．