Question

17．在如图所示的几何体中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）当A₁A为何值时，平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一（几何法）：
取CD中点E，连结EF，推导出四边形ABDF是平行四边形，从而AF∥BD，进而平面AEF∥平面BB₁D，由此能证明AE∥平面BB₁D．
法二（向量法）：
取CD中点E，连结EF，取CF中点G，连结AG，则AG⊥AB，以A为原点，AG为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁A=t（t＞0），则A（0，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），E（$\sqrt{3}$，1，$\frac{t}{2}$），B（0，2，0），B₁（0，2，t），利用向量法能证明AE∥平面BB₁D．
（Ⅱ）求出平面DB₁C₁的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量法能求出当A₁A为2时，平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°．

解答 证明：（Ⅰ）证法一（几何法）：
取CD中点E，连结EF，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，
AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中点，
∴EF∥CC₁∥BB₁，AB$\underset{∥}{=}$FD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD，
∵AF∩EF=F，BD∩BB₁=B，AF，EF?平面AEF，BD、BB₁?平面BDB₁，
∴平面AEF∥平面BB₁D，
∵AE?平面AEF，∴AE∥平面BB₁D．
证法二（向量法）：
取CD中点E，连结EF，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，
AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中点，
∴EF∥CC₁∥BB₁，AB$\underset{∥}{=}$FD，∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=2，AB=DF=2，∴AF=CF=2，∠AFC=∠BDC=60°，∴AC=2，
取CF中点G，连结AG，则AG⊥AB，
以A为原点，AG为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁A=t（t＞0），则A（0，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），E（$\sqrt{3}$，1，$\frac{t}{2}$），B（0，2，0），B₁（0，2，t），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}，1$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，t），
设平面BB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=-$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=$\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$，且AE?平面BB₁D，
∴AE∥平面BB₁D．
解：（Ⅱ）设A₁A=t（t＞0），则C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），B₁（0，2，t），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，-4，t），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，t），
设平面DB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-\sqrt{3}a-b+tc=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-4b+tc=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1$，$\frac{4}{t}$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
∵平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\frac{4}{t}|}{\sqrt{4+\frac{16}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由t＞0，解得t=2．
∴当A₁A为2时，平面B₁C₁D与平面ABDC所成二面角的大小等于45°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的大小等于45°的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．