Question

19．关于曲线C：x²+y⁴=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；
②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l＞4$\sqrt{2}$；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．
上述命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据方程特点得：以-x代替 x，以-y代替y，方程也不变，说明曲线关于x轴、y轴、原点对称；又x²=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²），即：x²≥（1-y²）即x²+y²≥1，说明曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，故封闭曲线面积大于π，结合正方形的面积；以及两点之间线段最短，综合可得答案．

解答 解：以-x代替 x，方程不变，以-y代替y，方程也不变，
同时以x代替 x、-y代替y，方程也不变，
说明曲线关于x轴、y轴、原点对称，故①正确；
又∵x²=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²）∴x²+y²≥1，
∴曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，（当且仅当y=0时，等于1）
故②正确；
由②可得，曲线C所围成图形的面积S满足大于单位圆的面积，小于边长为2的正方形的面积，
即π＜S＜4，故④正确；
曲线C在每一段的长都大于$\sqrt{2}$，故由对称性满足l＞4$\sqrt{2}$，故③正确．
故选：A．

点评 本题考查曲线的性质，命题的真假判断，注意运用不等式的性质和数形结合的思想方法，考查推理能力和判断能力，属于中档题．