Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动．
（1）当点F为DC的中点时，求证：EF∥平面PAC
（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF⊥AE
（3）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证EF∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAC内一直线平行，根据中位线定理可知EF∥PC，PC?平面PAC，EF?平面PAC，满足定理所需条件；
（2）欲证PF⊥AE，而PF?平面PDC，可先证AE⊥平面PDC，根据CD⊥平面PAD，有线面垂直的性质可知AE⊥CD，根据等腰三角形可知AE⊥PD，CD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理．
（3）过E坐EM⊥AD垂足为M，过M作MN⊥AC，垂足为N，连接EN．则∠MNE为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△MNE中计算即可．

解答 解：（1）证明：当点F为CD的中点时，∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．（3分）
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC．
∵PF?平面PDC，∴PF⊥AE．
（3）过E坐EM⊥AD垂足为M，过M作MN⊥AC，垂足为N，连接EN．
易证∠MNE为二面角E-AC-D的平面角．
△ACD的边AC上的高为$\frac{1×\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴MN=，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵EM=$\frac{1}{2}$，EN=$\sqrt{M{N}^{2}+E{M}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos∠MNE=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
所以二面角E-AC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题主要考查了直线与平面的判定，以及线面垂直的判定和性质等有关知识，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，二面角等知识，属于中档题．