Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．
（1）求证：AM⊥PD
（2）求点D到平面ACM的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AD，AB⊥PA，从而AB⊥平面PAD，由BM⊥PD，PD⊥平面ABM，AM⊥PD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ACM的距离．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥PA，
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵BM⊥PD于点M，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM，
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），
D（0，2，0），M（0，1，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
设平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴点D到平面ACM的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．