Question

5．如图：已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 求三角形OAB面积的最大值；
（Ⅲ）求证：直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=$\sqrt{6}$，a²=b²+c²=b²+6，将P（1，2）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+6}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，求得a和b，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得三角形OAB面积的最大值；
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，由已知条件推导出k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，由此能证明直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．

解答 解：（Ⅰ）双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点（$\sqrt{6}$，0），即c=$\sqrt{6}$，
则a²=b²+c²=b²+6，将P（2，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+6}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=2，a²=8，
椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ） 由直线l平行于OP，设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁+x₂=2m²-4，
由l与椭圆C有不同的两点，则△＞0
△=4m²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-4）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4-{m}^{2}}$，
点O到直线l的距离d=$\frac{丨2m丨}{\sqrt{5}}$，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=|m|•$\sqrt{4-{m}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}（4-{m}^{2}）}$≤$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$=2，
当且仅当m²=4-m²，即m=±$\sqrt{2}$时取等号，
三角形OAB面积的最大值2；
（ⅡI）证明：设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{2{m}^{2}-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理及基本不等式的性质，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．