Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差为1的等差数列，且a₂=3，a₃=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差为1的等差数列，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+n-1，S_n=n（a₁+n-1），分别取n=2，3，及其a₂=3，a₃=5．解得a₁=1．可得S_n=n²．利用递推关系即可得出．
（2）b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差为1的等差数列，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+n-1，可得S_n=n（a₁+n-1），
∴a₁+a₂=2（a₁+1），a₁+a₂+a₃=3（a₁+2），且a₂=3，a₃=5．
解得a₁=1．
∴S_n=n²．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n=1时也成立）．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{9（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．