Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，点E在棱PD上（点E异于端点），且$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$．
（1）当$λ=\frac{2}{3}$时，求异面直线PC与AE所成角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．得到相关点的坐标，求出$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$向量，利用数量积求解即可．
（2）求出平面ACE的一个法向量，平面PAC的一个法向量利用向量的数量积列出方程求解即可．

解答 解：（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．
则由条件知，A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）．$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），∵$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$．当$λ=\frac{2}{3}$时，
∴E（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），设异面直线PC与AE所成角为θ，
则$cosθ=\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|1×0+1×\frac{4}{3}+（-1）×\frac{1}{3}|}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{17}{9}}}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$，
异面直线PC与AE所成角的余弦值为：$\frac{\sqrt{51}}{17}$．
（2）∵$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$=（0，2λ，-λ）（0＜λ＜1）．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}$=（0，2λ，-λ+1），
由PA⊥底面ABCD，知PD与底面ABCD成30°角．
设平面ACE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$可得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2λy+（-λ+1）z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{2λ}{1-λ}$），
设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，不妨$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）
则|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|1+1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2+（\frac{2λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面所称的角，考查了利用空间向量求线面角，正确建立空间右手系是解答该题的关键，是中档题．