Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．
（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C-PD-B的平面角．在△PDE中，求解即可．
解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C-PD-B的余弦值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，
连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）
又∵△PAB为等边三角形，
∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，
∴AF⊥平面BPC．…（4分）
又DE∥AF．
∴DE⊥平面BPC，又DE?平面DPC，
∴平面DPC⊥平面BPC．…（5分）
（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，
BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C-PD-B的平面角．…（7分）
由题意知，DP=DC=$\sqrt{5}$，PC=$2\sqrt{2}$，∴$PE=\sqrt{2}$，∴$PD=\sqrt{3}$，
∴在△PDE中，$ME=\frac{DE•EP}{DP}=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．…（10分）
又$BE=\sqrt{2}$，
∴$BM=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，∴$cos∠BME=\frac{ME}{BM}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）
（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），$P（\sqrt{3}，1，0）$，C（0，2，2），D（0，0，1）．
$\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（-\sqrt{3}，1，2）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{3}，-1，1）$．…（8分）
设平面PDC和面PBC的法向量分别为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}y\\ z=-2y\end{array}\right.$，令y=-1得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，2）$；
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{PB}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}a\\ c=2\sqrt{3}a\end{array}\right.$，令a=1得$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．…（10分）
∴二面角C-PD-B的余弦值为$\frac{{\overrightarrow{m•}\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{3}+4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}×4}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．