Question

10．在四棱锥P-ABCD中，$∠DBA=\frac{π}{2}$，$AB\underline{\underline∥}CD$，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．
（1）求证：O是AD中点；
（2）证明：BC⊥PB；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．
（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．
（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．

解答 解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，
∴PA=PB=PD，
又∵PO⊥底面ABCD，
∴OA=OB=OD，
则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，
∴点O为AD中点．
（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，
于是PO⊥面ABCD，
∴BC⊥PO，
∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，
∴$∠DBO=∠ODB=\frac{π}{4}$，
又$AB\underline{\underline∥}CD$，∴$∠CBD=\frac{π}{4}$，
从而$∠CBO=\frac{π}{2}$即CB⊥BO，
由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，
∴BC⊥PB．
（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，

∵AB=2，则O（0，0，0），$A（{0，-\sqrt{2}，0}）$，$B（{\sqrt{2}，O，O}）$，$C（{\sqrt{2}，2\sqrt{2}，0}）$，$D（{0，\sqrt{2}，0}）$，$P（{0，0，\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{BA}=（{-\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0}）$，$\overrightarrow{BP}=（{-\sqrt{2}，0，\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{BC}=（{0，2\sqrt{2}，0}）$，
设面PAB的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，则$\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0$，得$-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$，$-\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0$，
取x=1，得y=-1，z=1，
故$\overrightarrow n=（{1，-1，1}）$．
设面PBC的法向量为$\overrightarrow m=（{r，s，t}）$，则$\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0$，得s=0，$-\sqrt{2}r+\sqrt{2}t=0$，
取r=1，则t=1，故$\overrightarrow m=（{1，0，1}）$，
于是$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由图观察知A-PB-C为钝二面角，
所以该二面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．