Question

5．点M（3，2）到拋物线C：y=ax²（a＞0）准线的距离为4，F为拋物线的焦点，点N（l，l），当点P在直线l：x-y=2上运动时，$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3-2\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{5-2\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{5-2\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 先求出抛物线的方程，设AP=t，则AN=$\sqrt{2}$，AF=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{t}^{2}+2}$，PF=$\sqrt{{t}^{2}+8}$，再表示$\frac{|PN|-1}{|PF|}$，利用换元法，即可得出结论．

解答 解：∵点M（3，2）到拋物线C：y=ax²（a＞0）准线的距离为4，
∴2+$\frac{1}{4a}$=4，∴a=$\frac{1}{8}$，∴拋物线C：x²=8y，
直线l：x-y=2与x轴交于A（2，0），则FA⊥l．
设AP=t，则AN=$\sqrt{2}$，AF=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{t}^{2}+2}$，PF=$\sqrt{{t}^{2}+8}$，
设$\sqrt{{t}^{2}+2}$-1=m（m≥$\sqrt{2}$-1），则$\frac{|PN|-1}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2}-1}{\sqrt{{t}^{2}+8}}$=$\frac{m}{\sqrt{（m+1）^{2}+6}}$=$\frac{1}{\sqrt{7（\frac{1}{m}+\frac{1}{7}）^{2}+\frac{6}{7}}}$，
∴m=$\sqrt{2}$-1，即t=0时，$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值为$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查$\frac{|PN|-1}{|PF|}$的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．