Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，AB=BC=2$\sqrt{2}$，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）说明过B作平面AA₁C₁C的垂线，垂足在AC₁上，取AC的中点E，连结CE，EB，说明过B作平面AA₁C₁C的垂线，垂足在EC₁上，推出垂足是C₁．然后证明结论．
（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC₁与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C₁-AB-C的余弦值．

解答 解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，AB=BC=2$\sqrt{2}$，∠AA₁C₁=60°，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，
∵∠AA₁C₁=60°，∴△AA₁C₁为等腰三角形，
同理△ABC₁是等腰三角形，
∵D为AC₁的中点，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，所以过B作平面AA₁C₁C的垂线，垂足在AC₁上，
三角形ABC是等腰三角形，取AC的中点E，连结CE，EB，可知BE⊥AC，C₁E⊥AC，所以AC⊥平面BEC₁，
过B作平面AA₁C₁C的垂线，垂足在EC₁上，可得垂足是C₁．
∴BC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）由（1）可得C₁B=2，以点D为坐标原点，DA、DC、DM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，M为AB的中点，A（1，0，0）；B（-1，0，2）C（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
平面ABC₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），

由题意可得$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，2），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，
所以平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$
即二面角C₁-AB-C的余弦值等于$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．