Question

13．设函数f（x）=e^x-ax，a是常数．
（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，表示出切线方程，求出m的值，从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1 …（1分），
设切点坐标是（m，e^m-m），
则k=f′（m）=e^m-1，
故切线方程是：
y-（e^m-m）=（e^m-1）（x-m） …（3分）
由0-（e^m-m）=（e^m-1）（0-m），得m=1，
所求切线为：y=（e-1）x…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna…（6分）
（1）a＞0时，若x＜lna，则f′（x）＜0；若x＞lna，则f′（x）＞0．
函数f（x）在区间（-∞，lna）单调递减，在区间（lna，+∞）单调递增，
f（x）的最小值为f（lna）=a（1-lna）…（7分）
①0＜a＜e时，f（lna）=a（1-lna）＞0，f（x）无零点…（8分）
②a=e时，f（lna）=a（1-lna）=0，f（x）只有一个零点…（9分）
③a＞e时，f（lna）=a（1-lna）＜0，根据f（0）=1＞0与函数的单调性，
f（x）在区间（-∞，lna）和（lna，+∞）各有一个零点，f（x）共有两个零点…（10分）
（2）a=0时，f（x）=e^x，f（x）无零点…（11分）
（3）a＜0时，由f（x）=0得，e^x=ax，
故曲线y=e^x与y=ax只有一个交点，所以f（x）只有一个零点．
综上所述，0≤a＜e时，f（x）无零点；
a＜0或a=e时，f（x）有一个零点；
a＞e时，f（x）有两个零点…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．