Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面$ABCD，AB=2，∠BAD=\frac{π}{3}，M$为BC上一点，且$BM=\frac{1}{2}$．
（1）证明：BC⊥平面POM；
（2）若MP⊥AP，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）在△OBM中，由余弦定理可得：OM²=$\frac{3}{4}$，于是OM²+BM²=OB²=1，可得OM⊥BC．根据PO⊥平面ABCD，可得∴PO⊥BC．即可证明结论．
（2）由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，MP²=OP²+$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，AP²=$O{P}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$．在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=$\frac{21}{4}$．由MP⊥AP，可得AP²+MP²=AM²，解得OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．S_ABCD=$A{B}^{2}sin\frac{π}{3}$，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•OP•{S}_{ABCD}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
△ABD为正三角形，∴OB=$\frac{1}{2}$BD=1．
在△OBM中，由余弦定理可得：OM²=${1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}-2×1×\frac{1}{2}$×$cos\frac{π}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴OM²+BM²=OB²=1，∴OM⊥BC．
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．
由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．
（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP²=OP²+$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，AP²=$O{P}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$．
在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=2²+$（\frac{1}{2}）^{2}$-$2×2×\frac{1}{2}×cos\frac{2π}{3}$=$\frac{21}{4}$．
∵MP⊥AP，∴AP²+MP²=$O{P}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$+OP²+$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=AM²=$\frac{21}{4}$，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
S_ABCD=$A{B}^{2}sin\frac{π}{3}$=${2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•OP•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×$2\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、余弦定理、勾股定理及其逆定理、菱形的性质及其面积计算公式、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．