Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2$\sqrt{3}$，AC∩BD=F．且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD重心．
（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥G-PCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：连AG交PD于H，连接CH．由重心性质推导出GF∥HC，由此能证明GF∥平面PDC．
法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，推导出GNMF为平行四边形，从而GF∥MN，由此能证明GF∥面PDC．
法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，GF，推导出平面GKF∥平面PDC，由此能证明GF∥面PDC．
（Ⅱ） 法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由${V_{G-PCD}}={V_{F-PCD}}={V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}$，能求出三棱锥G-PCD的体积．
法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由${V_{G-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}={V_{P-CDE}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDE}}$，能求出三棱锥G-PCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）证法一：连AG交PD于H，连接CH．
由梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC，知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$
又E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，∴$\frac{AG}{GH}=\frac{2}{1}$-------（2分）
在△AFC中，$\frac{AG}{GH}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$，故GF∥HC．-------（4分）
又HC⊆平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PDC．-------（6分）
证法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，
∵E为AD的中点，且PG：GE=2：1，
G为△PAD的重心，$\frac{GN}{ED}=\frac{PG}{PE}$=$\frac{2}{3}$，∴GN=$\frac{2}{3}ED=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又ABCD为梯形，AB∥CD，∵$\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，-------（2分）
∴$\frac{MF}{AD}=\frac{1}{3}$，∴MF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴GN=FM，-------（4分）
又由所作GN∥AD，FM∥AD，得GN∥FM，∴GNMF为平行四边形．
∴GF∥MN，∵GF?面PCD，MN?面PCD，
∴GF∥面PDC．-------（6分）
证法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，GF，
由△PAD为正三角形，E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，
得$DK=\frac{2}{3}DE$，∴$DK=\frac{1}{3}AD$-------（2分）
又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC，知$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{1}$，即$FC=\frac{1}{3}AC$-------（4分）
∴在△ADC中，KF∥CD，所以平面GKF∥平面PDC
又GF⊆平面GKF，∴GF∥面PDC-------（6分）
解：（Ⅱ） 解法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点
∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3
由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，∴${V_{G-PCD}}={V_{F-PCD}}={V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}$-------（8分）
又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC=2$\sqrt{3}$，知$DF=\frac{1}{3}BD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
又△ABD为正三角形，得∠CDF=ABD=60°，∴${S_{△CDF}}=\frac{1}{2}×CD×DF×sin∠BDC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，--（10分）
得${V_{P-CDF}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴三棱锥G-PCD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．-------（12分）
解法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点
∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3
由$PG=\frac{2}{3}PE$，∴${V_{G-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}={V_{P-CDE}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDE}}$-------（8分）
而又△ABD为正三角形，得∠EDC=120°，得${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}×CD×DE×sin∠EDC=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．-----（10分）
∴${V_{P-CDF}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×PE×{S_{△CDF}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×3×\frac{{3\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴三棱锥G-PCD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．----（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．