Question

7．已知抛物线G：x²=2py（p＞0），直线y=k（x-1）+2与抛物线G相交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），过A，B点分别作抛物线G的切线L₁，L₂，两切线L₁，L₂相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L₁⊥L₂，求抛物线G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面积为S₁，直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S₂，证明：$\frac{S_1}{S_2}$为定值．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再将直线y=x+1代入抛物线方程，运用韦达定理，解方程可得p的值，进而得到抛物线的方程；
（2）将直线y=k（x-1）+2代入抛物线方程x²=4y，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再由切线的方程求出交点H的坐标，运用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式可得S₁，再由直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S₂=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$[k（x-1）+2-$\frac{1}{4}$x²]dx，化简计算即可得到面积的比值为定值．

解答 解：（1）x²=2py（p＞0），即y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，
导数为y′=$\frac{x}{p}$，切线L₁，L₂的斜率分别为$\frac{{x}_{1}}{p}$，$\frac{{x}_{2}}{p}$，
 L₁⊥L₂，可得$\frac{{x}_{1}}{p}$•$\frac{{x}_{2}}{p}$=-1，
联立直线y=x+1和x²=2py（p＞0），
可得x²-2px-2p=0，即有x₁x₂=-2p，
即有-p²=-2p，解得p=2，
则抛物线G的方程为x²=4y；
（2）证明：将直线y=k（x-1）+2代入抛物线方程x²=4y，
可得x²-4kx+4k-8=0，
即有x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-8，
x₁＜x₂，可得x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}-16k+32}$=4$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
抛物线的方程为y=$\frac{1}{4}$x²，求导得y′=$\frac{1}{2}$x，
过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
解得两条切线l₁、l₂的交点H的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即H（2k，k-2）．
可得H到直线y=k（x-1）+2的距离为d=$\frac{|k（2k-1）+2-k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2（{k}^{2}-k+2）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₂-x₁|=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
可得△ABH的面积为S₁=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2（{k}^{2}-k+2）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$
=4（k²-k+2）•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S₂=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$[k（x-1）+2-$\frac{1}{4}$x²]dx
=[$\frac{1}{2}$kx²+（2-k）x-$\frac{1}{12}$x³]|${\;}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$k（x₂-x₁）（x₂+x₁）+（2-k）（x₂-x₁）-$\frac{1}{12}$（x₂-x₁）[（x₂+x₁）²-x₁x₂]
=（x₂-x₁）[2k²+2-k-$\frac{1}{12}$（16k²-4k+8）]=4$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$•$\frac{2}{3}$（k²-k+2）=$\frac{8}{3}$（k²-k+2）•$\sqrt{{k}^{2}-k+2}$．
则$\frac{S_1}{S_2}$为定值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，注意运用联立方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，考查运用定积分求不规则图形的面积，考查化简整理的运算能力，是一道综合题．