Question

17．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$，满足AB²=AD²+DB²，得AD⊥DB，直平行六面体中GD⊥面ABCD，得BD⊥平面ADG．
（Ⅱ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，求出法向量，利用公式求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．
由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$，满足AB²=AD²+DB²，∴AD⊥DB
直平行六面体中GD⊥面ABCD，DB?面ABCD，∴GD⊥DB，且AD∩GD=D
∴BD⊥平面ADG．
（Ⅱ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∴A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，2），C（-1，$\sqrt{3，}0）$．
$\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，2），\overrightarrow{AG}=（-1，0，1）$，
设平面AEFG的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=-x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=1
∴$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{\sqrt{3}}{3}，1）$，而平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{DG}=（0，0，1）$
∴$cos＜\overrightarrow{DG}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{n}}{|\\;\overrightarrow{DG}|\\;|\\;\overrightarrow{n}|\\;}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．