Question

12．如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁，A₁A=A₁B₁，∠AA₁B₁=60°．
（1）求证：AB⊥B₁C；
（2）若A₁B₁=B₁C=2，${B_1}{C_1}=\sqrt{2}$，求二面角C₁-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥OB₁，AB⊥OC，从而AB⊥平面OCB₁，由此能证明AB⊥B₁C．
（2）以O为原点，OB，OC，OB₁方向为x，y，z轴的正向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-AB₁-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，且A₁A=A₁B₁，∠AA₁B₁=60°，
∴△ABB₁为等边三角形，
取AB中点O，连接OC，OB₁，则AB⊥OB₁，
∵CA=CB，∴AB⊥OC，
∵OC∩OB₁=O，OB₁?平面OB₁C，OC?平面OB₁C，
∴AB⊥平面OCB₁，∴AB⊥B₁C．
解：（2）∵△ABB₁为等边三角形，AB=2，∴$O{B_1}=\sqrt{3}$，
∵在△ABC中，AB=2，$BC=AC=\sqrt{2}$，O为AB中点，
∴OC=1，
∵B₁C=2，$O{B_1}=\sqrt{3}$，∴$O{B_1}^2+O{C^2}={B_1}{C^2}$，
∴OB₁⊥OC，
又OB₁⊥AB，
∴OB₁⊥平面ABC．
以O为原点，OB，OC，OB₁方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的坐标系，
A（-1，0，0），${B_1}（0，0，\sqrt{3}）$，B（1，0，0），C（0，1，0），
则$\overrightarrow{O{C_1}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{C{C_1}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{B{B_1}}=（-1，1，\sqrt{3}）$，
则${C_1}（-1，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{B_1}}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，
则平面BAB₁的一个法向量$\overrightarrow m=（0，1，0）$，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面AB₁C₁的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=x+\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{A{C_1}}=y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$令z=-1，∴$x=y=\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，-1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
由图形知二面角C₁-AB₁-B是锐角，
∴二面角C₁-AB₁-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．