Question

4．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）试确定点E的位置，使得四棱锥P-ABCD的体积等于三棱锥B-ACE体积的4倍．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，推导出AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．
（2）由$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$，能求出E为PB的中点．

解答 证明：（1）连结AC，BD，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
解：（2）∵四棱锥P-ABCD的体积等于三棱锥B-ACE体积的4倍，
∴$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$，
设P到平面ABCD的距离为h，
则$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h}{\frac{1}{3}×2{S}_{△ABC}×PD}$=$\frac{h}{2PD}$=$\frac{1}{4}$，
解得h=$\frac{1}{2}$PD，
故此时E为PB的中点．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．