Question

13．已知O为坐标原点，圆M：（x+1）²+y²=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B₁、B₂，直线B₁P和B₂P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|•|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（-1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过连结FQ，利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论；
（2）证明：设P（x₀，y₀），可得3x₀²=4（3-y₀²），直线B₁P的方程为：y=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}x-\sqrt{3}$．令y=0，得${x}_{C}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}+{y}_{0}}，同理得{x}_{D}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}-{y}_{0}}$，
|OC|•|OD|=|x_C|•|x_D|=|$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{3-{{y}_{0}}^{2}}$|=4（定值）；
（3）当点C的坐标为（-1，0）时，点D（-4，0），|CD|=3，
设直线l的方程为：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²-6my-9=0
解得：${y}_{1}=\frac{3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}，{y}_{2}=\frac{3m+\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，△ABD面积s=$\frac{1}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$；

解答 （1）解：连结FQ，则FQ=NQ，
∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆                                               
∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
故点Q的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）证明：设P（x₀，y₀），直线B₁P的方程为：y=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{{x}_{0}}x-\sqrt{3}$．
令y=0，得${x}_{C}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}+{y}_{0}}，同理得{x}_{D}=\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{3}-{y}_{0}}$，
|OC|•|OD|=|x_C|•|x_D|=|$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{3-{{y}_{0}}^{2}}$|
∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$．即3x₀²=4（3-y₀²），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$=4，|OC|•|OD|是否为定值4．
（3）当点C的坐标为（-1，0）时，点D（-4，0），|CD|=3，
设直线l的方程为：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²-6my-9=0
解得：${y}_{1}=\frac{3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}，{y}_{2}=\frac{3m+\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，△ABD面积s=$\frac{1}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$；
∵$\sqrt{{m}^{2}+1}≥1$，根据∵$y=3x+\frac{1}{x}$在[1，+∞）递增 可得3$\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}≥4$．
∴$s≤\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$
∴m=0，即直线AB：x=-1时，△ABD面积的最大为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，主要考查运算能力，属于难题．