Question

15．正项数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{4}$，a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，则通项a_n=$\frac{n}{4}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为$\frac{1}{2}$．分类写出通项公式得答案．

解答 解：由a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，得S_n=2a_na_n+1，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1a_n，两式相减得a_n=2a_n（a_n+1-a_n-1），
即${a}_{n+1}-{a}_{n-1}=\frac{1}{2}$，
又a₁=$\frac{1}{4}$，a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，得${a}_{2}=\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为$\frac{1}{2}$．
则当n为奇数时，${a}_{n}=\frac{1}{4}+（\frac{n+1}{2}-1）×\frac{1}{2}=\frac{n}{4}$，
当n为偶数时，${a}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{n}{2}-1）×\frac{1}{2}=\frac{n}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{n}{4}$．
故答案为：$\frac{n}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．