Question

10．在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是（3，$\sqrt{41}$）．

Answer 1

分析 如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a²+b²=16，a²+c²=25，
b²+c²=m²⇒m²=41-2a²，且a²＜16，a²＜25⇒-2a²＞-32，⇒-2a²＞-50⇒⇒-2a²＞-32⇒m²=41-2a²＞9
在△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{m＜5+4}\\{4＜5+m}\\{5＜4+m}\end{array}\right.$⇒3＜m＜$\sqrt{41}$．

解答 解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC两两互相垂直，
∴a²+b²=16，a²+c²=25，b²+c²=m²⇒m²=41-2a²，
且a²＜16，a²＜25⇒-2a²＞-32，⇒-2a²＞-50⇒⇒-2a²＞-32⇒m²=41-2a²＞9
⇒m＞3
在△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{m＜5+4}\\{4＜5+m}\\{5＜4+m}\end{array}\right.$⇒3＜m＜$\sqrt{41}$
故答案为（3，$\sqrt{41}$）

点评 本题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．