Question

20．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求锐二面角D-A₁C-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁，交A₁C于点O，连结DO，证明OD∥BC₁，然后证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）由以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$方向为x轴正方向，$\overrightarrow{CB}$方向为y轴正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，求出相关点的坐标，平面A₁CD的法向量，平面A₁CE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（Ⅰ）连结AC₁，交A₁C于点O，连结DO，则O为AC₁的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC₁，又因为OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，∴BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（Ⅱ）由$A{A_1}=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$方向为x轴正方向，$\overrightarrow{CB}$方向为y轴正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，
则D（1，1，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{CD}=（{1，1，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{0，2，1}）$，$\overrightarrow{C{A_1}}=（{2，0，2}）$
设$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面A₁CD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+2z=0\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow n=（{1，-1，-1}）$．…（6分）
同理，设$\overrightarrow m$是平面A₁CE的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{CE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow m=（{2，1，-2}）$．…（8分）
从而$cos?\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（10分）
所以锐二面角D-A₁C-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．