Question

9．已知数列{x_n}满足x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N*），若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），且x_n+3=x_n对于任意正整数n均成立，则数列{x_n}的前2016项和S₂₀₁₆的值为（　　）

• A． 672
• B． 673
• C． 1342
• D． 1344

Answer 1

分析 x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），可得x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，x₁+x₂+x₃=1+a+（1-a）=2；x_n+3=x_n对于任意正整数n均成立，可得数列{x_n}的周期为3，即可得出．

解答 解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），∴x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，∴x₁+x₂+x₃=1+a+（1-a）=2；
x_n+3=x_n对于任意正整数n均成立，∴数列{x_n}的周期为3，
数列{x_n}的前2016项和S₂₀₁₆的值=672×2=1344．
故答案为：D．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．