Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow c$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，则|$\overrightarrow c$|的最大值为（　　）

• A． 0
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 设平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，解得θ=$\frac{π}{3}$．不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．由$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，可得：$（x-\frac{5}{4}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$=$\frac{3}{4}$．可得|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值．

解答 解：设平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-2cosθ=0，
解得θ=$\frac{π}{3}$．
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
∵$（\overrightarrow c-2\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，∴（x-$\frac{1}{2}$）（x-2）+$y（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=0，
化为$（x-\frac{5}{4}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$=$\frac{3}{4}$．
则|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．