Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n，等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且T₂=S₂=b₃．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，n=2时，分别求出a₁=2，a₂=4，设等差数列{b_n}的公差为d，前n项和为T_n，运用等差数列的通项公式和求和公式，求得数列{b_n}的通项公式；
（2）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，讨论n为偶数和奇数，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，
当n=2时，a₁+a₂=2a₂-2，
求得a₂=4，
设等差数列{b_n}的公差为d，前n项和为T_n，
T₂=S₂=b₃，可得b₁+b₁+d=a₁+a₂=b₁+2d=6，
解得b₁=d=2，
则b_n=2n；
（2）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），
令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$
=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
则当n为偶数时，数列{c_n}的前n项和
R_n=-（1+1+$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）-（1+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1-$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）+（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
当n为奇数时，R_n=R_n-1+c_n=-$\frac{2n-2}{2n-1}$-（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{4n+3}{2n+1}$．
则R_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4n+3}{2n+1}，n为奇数}\\{-\frac{2n}{2n+1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意变形和化简，考查运算能力，属于中档题．