Question

19．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆C上，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设过点D（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，且N在D、M之间，设$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义得$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，由${|{{F_1}{F_2}}|^2}+{|{P{F_1}}|^2}={|{P{F_2}}|^2}$，得c=2，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，$λ=\frac{1}{3}$；当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，得（1+5k²）x²+20kx+15=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出λ的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆C上，
满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
∴$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，得$a=\sqrt{5}$，由${|{{F_1}{F_2}}|^2}+{|{P{F_1}}|^2}={|{P{F_2}}|^2}$
得c=2，
由c²=a²-b²得b=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）由题意可知：
当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，$λ=\frac{1}{3}$；…（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，
△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞$\frac{3}{5}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{20k}{{1+5{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{15}{{1+5{k^2}}}\end{array}\right.$，…．（8分）
由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$得（x₂，y₂-2）=λ（x₁，y₁-2）
∴x₂=λx₁代入上式得$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）^2}{x_1}^2=\frac{{400{k^2}}}{{{{（1+5{k^2}）}^2}}}\\ λ{x_1}^2=\frac{15}{{1+5{k^2}}}\end{array}\right.$再消去${x_1}^2$，得$\frac{{{{（1+λ）}^2}}}{λ}=\frac{{400{k^2}}}{{15（1+5{k^2}）}}=\frac{80}{{3（5+\frac{1}{k^2}）}}$，
∵${k^2}＞\frac{3}{5}$，∴$0＜\frac{1}{k^2}＜\frac{5}{3}$，∴$5＜\frac{1}{k^2}+5＜\frac{20}{3}$，即$4＜\frac{80}{{3（\frac{1}{k^2}+5）}}＜\frac{16}{3}$，
∴$4＜\frac{{{{（1+λ）}^2}}}{λ}＜\frac{16}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜λ＜3$，…（10分）
又N在D，M之间，∴$\frac{1}{3}＜λ＜1$，…（11分）
由上综合可得$\frac{1}{3}≤λ＜1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程、实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量知识的合理运用．