Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$．
（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）判断f（x）单调性并证明；
（III）不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对于x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，先分析函数f（x）的定义域，进而可得$f（-x）=\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{{{e^{-x}}+{e^x}}}=-\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}=-f（x）$，即证明函数为奇函数；
（Ⅱ）先将函数的解析式变形可得$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-1}}{{{e^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{e^{2x}}+1}}$，利用定义法可得证明；
（Ⅲ）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析，原问题可以转化为当x∈[1，2]时，x²+x≥t²+t恒成立，由二次函数的性质分析可得（x²+x）_min=2，进而可得x²+x≥t²+t恒成立?t²+t≤2，解可得t的取值范围，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：对于函数f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$，其定义域为R，关于原点对称，
∵$f（-x）=\frac{{{e^{-x}}-{e^x}}}{{{e^{-x}}+{e^x}}}=-\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}=-f（x）$，
∴f（x）为奇函数．
（ II）f（x）在R上为增函数．
证明：根据题意，$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-1}}{{{e^{2x}}+1}}=1-\frac{2}{{{e^{2x}}+1}}$，
在R内任取x₁，x₂，△x=x₂-x₁＞0，
则$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{1-\frac{2}{{{e^{2{x_2}}}+1}}}）-（{1-\frac{2}{{{e^{2{x_1}}}+1}}}）=\frac{{2（{{e^{2{x_2}}}-{e^{2{x_1}}}}）}}{{（{{e^{2{x_1}}}+1}）（{{e^{2{x_2}}}+1}）}}$，
∵x₂＞x₁∴2x₂＞2x₁
∴${e^{2{x_2}}}＞{e^{2{x_1}}}$，∵${e^{2{x_2}}}\;+1＞0\;\;\;\;{e^{2{x_1}}}+1＞0$，
∴△y＞0．
∴f（x）在R上为增函数．
（ III）根据题意，f（x-t）+f（x²-t²）≥0?f（x-t）≥-f（x²-t²），
又由f（x）为奇函数，
∵f（x-t）≥-f（x²-t²）=f（t²-x²），
又∵f（x）在R上为增函数，
∴当x∈[1，2]时，x-t≥t²-x²恒成立，即x²+x≥t²+t恒成立，
而x∈[1，2]时，（x²+x）_min=2，
则x²+x≥t²+t恒成立?t²+t≤2，
解得-2≤t≤1，
即t的取值范围是[-2，1]．

点评 本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的奇偶性、单调性的判定，关键是把恒成立问题转化为最值问题．