Question

18．如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a²＜$\int_a^{a+1}{\;}$x²dx＜（a+1）²．类比之，若对?n∈N*，不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，则实数A等于（　　）

• A． ln$\frac{5}{2}$
• B． ln 2
• C． $\frac{1}{2}$ln 2
• D． $\frac{1}{2}$ln 5

Answer 1

分析 令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，根据定积分的定义得到：A₁=-lnn+ln（n+1），同理求出A₂，A₃，…，A_n的值，相加求出即可．

解答 解：令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，
由题意得：$\frac{1}{n+1}$＜A₁＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜A₂＜$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n+3}$＜A₃＜$\frac{1}{n+2}$，…，$\frac{1}{2n}$＜A_n＜$\frac{1}{2n-1}$，
∴A₁=${∫}_{n}^{n+1}\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{n}^{n+1}$=ln（n+1）-lnn，
同理：A₂=-ln（n+1）+ln（n+2），A₃=-ln（n+2）+ln（n+3），…，A_n=-ln（2n-1）+ln2n，
∴A=A₁+A₂+A₃+…+A_n
=-lnn+ln（n+1）-ln（n+1）+ln（n+2）-ln（n+2）+ln（n+3）-…-ln（2n-1）+ln2n
=ln2n-lnn
=ln2，
故选：B．

点评 本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A₁，A₂，A₃，…，A_n的值是解题的关键，本题是一道中档题．