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    17．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

    分析 （Ⅰ）根据三角形的周长求出a的值，设G（x0，y0），求出b，c的值，从而求出椭圆E的方程即可；
    （Ⅱ）分别设出AB，AC的斜率，联立直线和圆的方程组，分别求出B、C的坐标，求出直线BC的方程，从而求出直线恒过的定点即可．

    解答 解：（Ⅰ）由△DGF2的周长是8，得：4a=8，解得：a=2，
    由|DF1|=3|GF1|且G在DF1的延长线上，
    得$\overrightarrow{DG}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{{DF}_{1}}$，设G（x0，y0），
    则（x0，y0-b）=$\frac{4}{3}$（-c，-b），x0=-$\frac{4}{3}$c，y0=-$\frac{1}{3}$b，
    由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：c2=2，
    ∴b2=2，椭圆E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
    （Ⅱ）A（-2，0），直线AB、AC均有斜率，
    设AB：y=k（x+2），AC：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），
    由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0，
    解得：x1=-2，x2=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
    当x2=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$时，y2=$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$
    ∴B（-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$），
    同理C（$\frac{{2k}^{2}-4}{{k}^{2}+2}$，-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$），
    直线BC的方程是3kx+2（k2-1）y+2k=0，
    直线BC恒过定点（-$\frac{2}{3}$，0）．

    点评 本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，是一道中档题．

    练习册系列答案
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    7．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{4}$]．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．三个数40.2，30.4，log0.40.5的大小顺序是（　　）
    A．30.4＜40.2＜log0.40.5B．${3^{0.4}}＜{log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}$
    C．${log_{0.4}}0.5＜{3^{0.4}}＜{4^{0.2}}$D．${log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}＜{3^{0.4}}$

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}，AB=B{B_1}=2，BC=1，D$为CC1的中点．
    （1）求证：DB1⊥平面ABD；
    （2）求点A1到平面ADB1的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    12．在平面直角坐标系Oxy中，已知点F（1，0）和直线l：x=4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P．
    （Ⅰ）求圆心C的轨迹E的方程；
    （Ⅱ）过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A、B，求△PAB面积的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
    （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；
    （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；
    （3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．
    （Ⅰ）证明：OB⊥EH；
    （Ⅱ）若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求二面角D-AC-H的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    6．已知函数f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其导函数为f′（x），现有如下命题：
    ①对?x1∈（0，+∞），?x2∈（0，+∞），使得x2f（x1）＞x1f（x2）；
    ②?x1∈（0，+∞），对?x2∈（0，+∞）且x1≠x2，使得f（x1）-f（x2）＜x2-x1；
    ③当a＞3时，对?x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立；
    ④当a＞3时，对?x∈（3，+∞），且x≠a时，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）恒成立；其中真命题的个数为（　　）
    A．1B．2C．3D．4

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    7．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$．
    （Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；
    （Ⅱ）判断f（x）单调性并证明；
    （III）不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对于x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．

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