Question

1．如图在直角梯形BB₁C₁C中，∠CC₁B₁=90°，BB₁∥CC₁，CC₁=B₁C₁=2BB₁=2，D是CC₁的中点．四边形AA₁C₁C可以通过直角梯形BB₁C₁C以CC₁为轴旋转得到，且二面角B₁-CC₁-A为120°．
（1）若点E是线段A₁B₁上的动点，求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接B₁D，DA₁．由已知可得四边形B₁BDC是平行四边形，B₁D∥BC，可得B₁D∥平面ABC．同理可得：DA₁∥平面ABC．可得平面B₁DA₁∥平面ABC；即可证明DE∥平面ABC．
（2）作C₁M⊥C₁B₁交A₁B₁于点M，分别以C₁M，C₁B₁，C₁C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．设平面A₁ACC₁ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，连接B₁D，DA₁．
由已知可得：$B{B}_{1}\underset{∥}{=}\frac{1}{2}C{C}_{1}\underset{∥}{=}CD$，
∴四边形B₁BDC是平行四边形，∴B₁D∥BC，
而BC?平面ABC，B₁D?平面ABC；
∴B₁D∥平面ABC．
同理可得：DA₁∥平面ABC．又A₁D∩DB₁=D，
∴平面B₁DA₁∥平面ABC；DE?平面B₁DA₁；
∴DE∥平面ABC．
（2）解：作C₁M⊥C₁B₁交A₁B₁于点M，分别以C₁M，C₁B₁，C₁C为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则C₁（0，0，0），A₁（$\sqrt{3}$，-1，0），B（0，2，1），C（0，0，2），A（$\sqrt{3}$，-1，1），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），$\overrightarrow{CB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（0，0，2）．
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2）．
设平面A₁ACC₁ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{2}-{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}×\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角B-AC-A₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、通过法向量的夹角求空间角、数量积的运算性质，本题考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．