Question

1．已知函数$f（x）={a^x}+\frac{1-t}{a^2}（a＞0，a≠1）$是定义域为R上的奇函数．
（1）求实数t的值；
（2）若f（1）＞0，不等式f（x²+bx）+f（4-x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若$f（1）=\frac{3}{2}$且$h（x）={a^{2x}}+\frac{1}{{{a^{2x}}}}-2mf（x）$[1，+∞）上最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f（0）=0，求得t值，已知f（x）为奇函数，则t值可求；
（2）由f（x）的解析式可得f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$是R上的单调递增，结合奇偶性把不等式f（x²+bx）+f（4-x）＞0转化为关于x的一元二次不等式，由判别式小于0求得
实数b的取值范围；
（3））由f（1）=$\frac{3}{2}$求得a值，则h（x）=${2}^{2x}+\frac{1}{{2}^{2x}}-2m（{2}^{2x}-\frac{1}{{2}^{2x}}）=（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-2m（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）+2$，令u=f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，则g（u）=u²-2mu+2，然后利用函数的单调性结合配方法求得f（x）在[1，+∞）上最小值，进一步求得m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1+（1-t）=0，得t=2，
此时f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$，满足f（-x）=$\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}=-（{a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}）=-f（x）$，f（x）为奇函数；
（2）由（1）知：f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}（a＞0，a≠1）$，
∵f（1）＞0，∴a-$\frac{1}{a}$＜0，又a＞0且a≠1，∴a＞1，
∴f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$是R上的单调递增，
又f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（x²+bx）+f（4-x）＞0?f（x²+bx）＞f（x-4）?x²+bx＞x-4．
即x²+bx-x+4＞0在x∈R上恒成立，
∴△=（b-1）²-16＜0，即-3＜b＜5，
∴实数b的取值范围为（-3，5）．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，解得a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴h（x）=${2}^{2x}+\frac{1}{{2}^{2x}}-2m（{2}^{2x}-\frac{1}{{2}^{2x}}）=（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-2m（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）+2$，
令u=f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，则g（u）=u²-2mu+2，
∵f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$在R上为增函数，且x≥1，∴u≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
∵h（x）=${2}^{2x}+\frac{1}{{2}^{2x}}-2mf（x）$在[1，+∞）上的最小值为-2，
∴g（u）=u²-2mu+2在[$\frac{3}{2}，+∞$）上的最小值为-2，
∵g（u）=u²-2mu+2=（u-m）²+2-m²的对称轴为u=m，
∴当m$≥\frac{3}{2}$时，$g（u）_{min}=g（m）=2-{m}^{2}=-2$，解得m=2或m=-2（舍去），
当m＜$\frac{3}{2}$时，$g（u）_{min}=g（\frac{3}{2}）=\frac{17}{4}-3m=-2$，解得m=$\frac{25}{12}$$＞\frac{3}{2}$（舍去），
综上可知：m=2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数性质的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．