Question

13．已知函数f（x）=x³+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt²）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\sqrt{2}}）∪（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• C． $（{-2，-\sqrt{2}}）$
• D． $（{-∞，-\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$对任意实数t≥1恒成立，由基本不等式的性质分析可得-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$有最小值-$\sqrt{2}$，进而分析可得m的取值范围．

解答 解：根据题意，函数f（x）=x³+3x，其定义域为R，关于原点对称，
有f（-x）=-（x³+3x）=-f（x），则f（x）为奇函数，
又由f′（x）=3x²+3＞0，则f（x）为增函数，
若不等式f（2m+mt²）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，
则f（2m+mt²）＜-f（4t），即2m+mt²＜-4t对任意实数t≥1恒成立，
2m+mt²＜-4t?m＜-$\frac{4t}{{t}^{2}+2}$，即m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$，
又由t≥1，则t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，则-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$有最小值-$\sqrt{2}$，
若m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$对任意实数t≥1恒成立，必有m＜-$\sqrt{2}$；
即m的取值范围为（-∞，-$\sqrt{2}$）；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数f（x）=x³+3x的奇偶性与单调性．