Question

3．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，则f（0）+f（2017）的最大值为（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由已知可得f（x+1）-f²（x+1）+f（x）-f²（x）=$\frac{1}{4}$，令g（x）=f（x）-f²（x），则g（0）+g（2017）=$\frac{1}{4}$，结合基本不等式和二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，
∴f（x）＞0且f²（x+1）=$\frac{1}{4}$+$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$+f（x）-f²（x），
则f（x+1）-f²（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$-[$\frac{1}{4}$+$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$+f（x）-f²（x）]=$\frac{1}{4}$-[f（x）-f²（x）]，
故f（x+1）-f²（x+1）+f（x）-f²（x）=$\frac{1}{4}$，
令g（x）=f（x）-f²（x），则g（x+1）+g（x）=$\frac{1}{4}$，
则g（0）=g（2）=…=g（2016）； g（1）=g（3）=…=g（2017）；
g（0）+g（2017）=$\frac{1}{4}$，
∴f（0）-f²（0）+f（2017）-f²（2017）=$\frac{1}{4}$，
f（0）+f（2017）=$\frac{1}{4}$+f²（0）+f²（2017）≥$\frac{1}{4}$+$\frac{[f（0）+f（2017）]^{2}}{2}$，
即2[f（0）+f（2017）]²-4[f（0）+f（2017）]+1≤0，
解得：f（0）+f（2017）∈[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故选：B

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，基本不等式的应用，难度中档．