Question

15．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则点K到平面PBD的距离为$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 如图所示，以AP为z轴，AD为y轴，取BC的中点M，以AM为x轴，建立空间直角坐标系．设K（0，0，m），则$\overrightarrow{CK}$=$a\overrightarrow{CE}$+b$\overrightarrow{CF}$，可得K坐标．设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，利用点K到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{KP}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：如图所示，
以AP为z轴，AD为y轴，取BC的中点M，以AM为x轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），F（0，2，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），E（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），
设K（0，0，m），则$\overrightarrow{CK}$=$a\overrightarrow{CE}$+b$\overrightarrow{CF}$，
∴（0，0，m）=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}a}{4}-\frac{3\sqrt{3}b}{2}，\frac{3}{2}-\frac{9}{4}a+\frac{1}{2}b，\frac{3}{2}a）$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$a-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b=0，$\frac{3}{2}-\frac{9}{4}a+\frac{1}{2}b$=0，$\frac{3}{2}$a=m，
解得m=$\frac{6}{5}$，a=$\frac{4}{5}$，b=$\frac{3}{5}$．
$\overrightarrow{BD}$=$（-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{9}{2}，0）$，$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-3）．
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9}{2}y=0}\\{3y-3z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）．
$\overrightarrow{KP}$=$（0，0，\frac{9}{5}）$．
∴点K到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{KP}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{9}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题考查了空间位置关系、平面向量基本定理、法向量的应用、点到平面的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．