Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）以x=-2为准线方程，过x轴上一定点P（3，0）作直线l与抛物线交于不同的两点A、B
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）抛物线C：y²=2px（p＞0）以x=-2为准线方程，可得p=4，然后求解抛物线C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），利用平方差法求解轨迹方程即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）以x=-2为准线方程，
可得p=4，抛物线C的标准方程y²=8x----（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=8{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=8{x}_{2}}\end{array}\right.$    两式作差得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=8（x₁-x₂），
当x₁≠x₂时，有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，${k}_{AB}=\frac{8}{2y}$=$\frac{y-0}{x-3}$，
∴y²=4x-12----（8分）
当x₁=x₂时，即弦AB⊥x轴，又∵AB中的P（3，0），∴x₁=x₂=3，
此时弦AB的中点M的坐标为（3，0），经验证满足y²=4x-12
综上所述，弦AB的中点M的轨迹方程为y²=4x-12----（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质，标准方程的求法，曲线的轨迹方程的求法，平方差法的应用，考查计算能力．