Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，且AB∥DC，DC=2AB，E和F分别是棱CD和PC的中点，PD⊥CD，PB=BC=BD=2$\sqrt{3}$，AB=2，二面角P-AB-D为$\frac{2π}{3}$．
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥PD，四边形ABED是平行四边形，从而BE∥AD，进而平面BEF∥平面PAD，由此能证明BF∥平面PAD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵E和F分别是棱CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵四棱锥P-ABCD的底面为梯形，且AB∥DC，DC=2AB，
∴AB$\underset{∥}{=}$DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，
∵BE∩EF=E，AD∩PD=D，BE、EF?平面BEF，AD、PD?平面PAD，
∴平面BEF∥平面PAD，
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面PAD．
解：（2）∵PB=BC=BD=2$\sqrt{3}$，E是棱CD的中点，∴BE⊥CD，
∵BE∥AD，AB∥DC，PD⊥CD，
∴CD⊥AD，AB⊥AD，AB⊥PD，
∵AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AP，
∵二面角P-AB-D为$\frac{2π}{3}$，∴∠PAD=120°．PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），P（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），C（4，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PC}$=（4，3$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，3$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+\sqrt{2}y-\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4x+3\sqrt{2}y-\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{3}$，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4a+3\sqrt{2}b-\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=3\sqrt{2}b-\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，
∴二面角B-PC-D的余弦值为0．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．