Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，t），点B（4，0），若圆O：x²+y²=9上存在点P，使得PA=PB，则实数t的最大值是2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 求出AB垂直平分线的方程，利用圆O：x²+y²=9上存在点P，使得PA=PB，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|{t}^{2}-12|}{\sqrt{16+4{t}^{2}}}$≤3，即可得出结论．

解答 解：由题意，k_AB=$\frac{t}{-2}$，可得AB垂直平分线的方程为y-$\frac{t}{2}$=$\frac{2}{t}$（x-3），即4x-2ty+t²-12=0
∵圆O：x²+y²=9上存在点P，使得PA=PB，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|{t}^{2}-12|}{\sqrt{16+4{t}^{2}}}$≤3，
∴-2$\sqrt{15}$≤t≤2$\sqrt{15}$，
故答案为2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．