Question

4．如图，平面ABC⊥平面α，且平面ABC∩平面α=BC，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=$\frac{5π}{6}$，平面α内一动点P满足∠PAB=$\frac{π}{6}$，则PC的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系，设P（x，y，0），可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$，可得$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+0}$．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系，
A$（0，0，\frac{1}{2}）$，B$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，C$（0，\frac{3\sqrt{3}}{2}，0）$，设P（x，y，0），则$\overrightarrow{AP}$=$（x，y，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AB}$=$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•\sqrt{0+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•cos\frac{π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+$\frac{1}{4}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$•cos\frac{π}{6}$，
∴$\frac{3}{4}{y}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$y+$\frac{1}{16}$=$\frac{3}{4}$$（{x}^{2}+{y}^{2}+\frac{1}{4}）$，
∴${x}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{1}{6}$．
$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+0}$=$\sqrt{（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+\frac{5}{4}}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PC的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．