Question

13．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC．
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BE⊥PC，PB⊥AC，AC⊥BC，PB∩BC=B，从而AC⊥平面PBC，进而AC⊥BE，由此能证明BE⊥平面PAC．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

解答 证明：（1）因为BP=BC，EP=EC，所以BE⊥PC…（2分）
因为PB⊥平面ABC，所以PB⊥AC…（4分）
又AC⊥BC，PB∩BC=B，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BE．又PC∩AC=C…（5分）
所以BE⊥平面PAC…（6分）
（2）建立如图所示的空间直角坐标系…（7分）
则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），$F（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}）$
$\overrightarrow{BE}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）…（8分）
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）…（9分）
取平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）…（10分）
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
所以平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．